A l@s compañer@s de ahora y de siempre
entusiastas de la Didáctica de las Matemáticas
*NOTA DEL AUTOR: Dada la amplia extensión de este artículo hemos decidido publicarlo en dos partes. Una división que esperemos no reste nada al sentido de reflexión global de su contenido, que creemos de interés para quienes trabajan la enseñanza de las Matemáticas desde la práctica de aula.
PRIMERA PARTE
SOBRE LO MANIPULATIVO: De garbanzos, habas, dedos… y regletas de Cuisenaire.
Digamos que hablar de lo manipulativo se ha puesto de moda cuando nos referimos a la Didáctica de las Matemáticas. ¡Qué bien! nos decimos pensando que ya era hora de que el aprendizaje de los conceptos matemáticos por parte del alumno tuviera su anclaje en lo real, en lo que el alumno toca, ve, incluso escucha, hasta puede que huela. Ya se sabe que nada hay en nuestra mente que antes no haya pasado por los sentidos. O como nos gusta decir, una cosa es el aprendizaje, así en abstracto, y otra cosa es la experiencia de aprendizaje que es lo que en este caso proporciona precisamente el contacto del alumno con eso que llamamos lo manipulativo.
Pues eso, que lo manipulativo se ha puesto de moda y ya sabemos lo que pasa con las modas, que llegan imponiéndose como novedad y arrasando con todo lo anterior, es decir con la Historia. ¿Cuánto hay de novedad y cuánto de historia en lo que hace un compañero en un vídeo de youtube relacionado con la propuesta denominada OAOA (Otros Algoritmos para las Operaciones Aritméticas) presentando sus juegos -magníficos- con sus alumnos, utilizando las regletas de Cuisenaire? Las regletas de Cuisenaire, me digo pensando en que es un material que puede representar -digámoslo así- el culmen de la sofistificación y sistematización del uso de lo manipulativo en el aprendizaje de las Matemáticas sobre todo en los aspectos numéricos y de cálculo.
Desconozco si el planteamiento del compañero incluye esto de analizar el uso del material en las clases de Matemáticas desde un punto de vista histórico. Como digo, el afán de novedad, de lo que es moda, tiende a ignorar estas cosas. Pero no estaría demás hacer un repaso de las actividades que se hacían en las aulas en otras épocas, sobre todo porque podemos descubrir lo cerca que estamos de ellas a pesar del tiempo transcurrido.
Podemos empezar por afirmar que como siempre no se trata del material en sí, sino del uso que hagamos de él, algo que los vídeos del compañero ejemplifican en su favor claramente. O lo que es lo mismo, si alguien cree que el uso de las regletas por sí solo resuelve el problema de enseñar matemática, se equivoca bastante. Como se suele decir, es el papel del maestr@, como en el caso del compañero referido, la cuestión fundamental; y si creemos también que esto es así, si creemos en la relevancia del papel del docente, añadamos en el mismo sentido, que l@s maestr@s siempre estuvieron ahí…
Enseñanza de las matemáticas en el siglo XX. Imagen extraída de superprof.co
Así que pongamos un aula de mediados de los años cincuenta del siglo pasado donde se enseña matemáticas con garbanzos y habas (Mejor habas porque eran más planas, mientras los garbanzos, más redondos, siempre estaban por los suelos)… Digamos que en general el uso de habas y garbanzos y otros materiales cercanos quedaba casi circunscrito al conteo de uno en uno: contar de uno en uno para responder a cuántos son, contar para sumar, o descontar para restar, etc. Como decimos, ese era el uso general; como en el cuento de “Las habas contadas”. Pero había otros usos, por supuesto. Si alguien quiere entender el principio didáctico que sostiene el uso de las regletas, imagine que con garbanzos y habas colocándolas en filas y columnas podemos hacer casi las mismas actividades y juegos que nuestro compañero del OAOA hace con las propias regletas. Veámoslo con un ejemplo referido al concepto de número. El nueve, ya no se aprende sólo por el conteo de uno en uno, sino por las formas en que el alumno lo distribuye en filas y columnas: 5 + 4; 6 + 3; 3 veces 3; 2 veces 4 + 1…
Así podemos afirmar que desde el principio es la organización geométrica del material lo que está en la base y propicia el aprendizaje matemático, tanto con habas y garbanzos como con un material más sofisticado como las regletas. La única diferencia es que con las regletas la sistematización está implícita en el propio material y con las habas y garbanzos esa sistematización la tiene que construir el alumno como propia experiencia de aprendizaje.
Pregunta a debate: ¿Al usar preferentemente las regletas le estamos robando al niño esa experiencia de aprendizaje que proporciona el uso de otros materiales?
Digamos que había también otro material que se usaba mucho en el aula, aunque éste era, digamos, más costoso. Me refiero al papel cuadriculado y era más costoso en un doble sentido. En primer lugar porque supone un pequeño salto en la escalada hacia la dificultad de abstracción, de separación de la realidad por parte del alumno; la cuadrícula es digámoslo así, geometría, y como tal, abstracción pura capaz de representar garbanzos, habas y todo. Y costoso también en términos de realidad. Un cuaderno de papel cuadriculado era un coste importante para la economía familiar. Paradojas de la historia los garbanzos y las habas eran más baratos; casi no había que comprarlos. En una España fuertemente ruralizada eran fáciles de conseguir. Mientras que el papel cuadriculado, estaba claro, había que pagarlo. Es evidente que también con la cuadrícula se pueden hacer una gran parte de las mismas actividades que el alumno hace con las regletas; reforzando así la idea del papel que la Geometría juega en la construcción de los primeros aprendizajes matemáticos.
Por último, destacar que curiosamente el material que más se usaba en las aulas como recurso didáctico, era uno que estaba muy al alcance de la mano, nunca mejor dicho, pues se trataba de los propios dedos… Contar con los dedos o sumar contando con los dedos de uno en uno, son fórmulas que se conservan en la memoria de generaciones y generaciones de escolares y que quizás pueda sorprendernos su vigencia. Pero había otros usos, más interesantes y quizás no tan trillados.
SUMAS DOBLES +- 1. Vídeo extraído del perfil OAOA Primero de Primaria (Youtube)
Pongamos un ejemplo. Nuestro compañero del OAOA nos ofrece en el vídeo una actividad muy interesante de cómo el alumno resuelve la suma de 7 + 6 desde la regleta amarilla del 5: 5 + 2 (roja) + 5 + 1 (blanca), buscando sumar desde 10 ((5 + 5) +2 + 1 = 10 + 2 + 1= 13) y evitando así el rutinario contar de uno en uno. Pongamos que resulta fácil imaginar esta misma actividad sustituyendo las regletas por la cuadrícula usando incluso los mismos colores. Hasta podríamos usar material contable como habas y garbanzos colocándolos en fila; aunque es evidente que traer hoy en día al aula garbanzos y habas pueda sonar como demasiado romántico, una razón que podría ser hasta incluso convincente ¿por qué no?. Así que sustituyamos las habas y garbanzos por un material contable más moderno y que me encanta verlo en las aulas: los tapones de tetra brick desechables. También con ellos podemos hacer la misma actividad.
Y me resisto a dejar esta reflexión sin mostrar cómo sería la misma suma de 7 + 6 con los dedos desde el 5: “Vamos a poner siete en la izquierda de nuestro cuerpo (5 del pie y dos en la mano) y seis en la derecha (5 del pie y uno en la mano) y que en total son diez dedos de los pies 10 + 2 +1 = 13”. Digamos que todos estos ejemplos pueden ilustrar muy claramente lo que decíamos de lo cerca que puede estar lo que se hacía entonces y lo que se hace ahora a pesar del tiempo transcurrido.
Pregunta a debate: Al comparar ambas actividades, con las regletas, y con los dedos ¿cuál de las dos ofrece más ventajas desde el punto de vista didáctico?
Pero me vais a permitir una variante más de la misma actividad (la suma de 7 + 6) en la que no hay un material de por medio, sino sólo palabras. Así que planteémosla desde un relato que podemos titular: La calculadora averiada, o la calculadora tonta; y es así. Proponemos a los alumnos que se imaginen que tienen una calculadora en la que sólo funciona el 5 + 5 = 10. El resto de las teclas están inservibles. ¡Vaya calculadora tonta! -diríamos-. ¿Cómo podríamos resolver la cuenta de 7 + 6 con nuestra calculadora averiada? Pues pulsando las teclas de 5 + 5 que es lo único que funciona y añadiendo 2 + 1 mentalmente. ¿Y podríamos resolver otras cuentas con el mismo truco? Pues claro que podríamos, sólo con reducirlas al 5 + 5 = 10 de nuestra calculadora averiada, demostrando así la utilidad de su inutilidad, un poco a la manera de la utilidad de las cosas inútiles que diría Nuccio Ordine.
Toda actividad de aprendizaje matemático -y quizás no sólo matemático- debe concluir en el lenguaje, es decir en que el alumno sea capaz de contar lo que hace al manipular el material y expresar sus propias conclusiones…
Digamos que de alguna manera con este relato de “La calculadora averiada”, hemos conducido una misma actividad desde lo manipulativo (regletas, cuadrícula, tapones o dedos) hacia lo imaginativo (el relato), dos espacios de aprendizaje muy interesantes y que hemos culminado además con un juego de simulación dando un gran protagonismo al mundo de las palabras. No es una cuestión menor. En general, toda actividad de aprendizaje matemático -y quizás no sólo matemático- debe concluir en el lenguaje, es decir en que el alumno sea capaz de contar lo que hace al manipular el material y expresar sus propias conclusiones…
Lo que quiero decir, en definitiva, es que bienvenido este resurgimiento de lo manipulativo que reivindica colocarlo en el centro de las primeras fases del aprendizaje matemático, siempre entendido en un sentido amplio que proporcione actividades diversas con el uso de diferentes materiales y que en todos ellos se generalice su carácter simbólico, es decir, que se adjudique a garbanzos, habas, dedos o regletas la representación de todo, de manera que pueden ser a la vez, pájaros, frutas, niños o bicicletas… Es esa generalización que proviene de la experiencia manipulativa lo que proporciona al alumno de forma intuitiva, el propio concepto de número o de operación de cálculo, por ejemplo. Y bienvenidas también estas nuevas propuestas de aula, como OAOA y otras, que han hecho resurgir el espíritu renovador y entusiasta que siempre tuvo la Didáctica de las Matemáticas.
El aprendizaje matemático es manipulación, pero es también imaginación, simulación y palabras
Pero déjenme añadir para terminar que quizás haya que tener cuidado con una fe excesiva en la necesidad de lo manipulativo que niegue otros aspectos más sutiles que pertenecen también al mundo del aprendizaje matemático. La relevancia de lo manipulativo puede conducirnos a la simplificación de pensar que enseñar matemáticas consiste en plantear un problema o un cálculo, que el alumno ha de resolver manipulando el material y ya está. No es tan simple. La cuestión es mucho más compleja; como hemos visto, el aprendizaje matemático es manipulación, pero es también imaginación, simulación y palabras. Es lo manipulativo pero es también y quizás, sobre todo, lo mental…
Pregunta para el debate: ¿Y cómo es ese camino que conduce desde lo manipulativo a lo mental y a la abstracción, es decir, al pensar?
